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Comment transformer un nombre décimal périodique en une fraction?

Les nombre décimaux sont les "nombres à virgule"; ils font partie des nombres rationnels, qu'on obtient en divisant un entier par un autre entier(1). Par exemple, 0.4 s'obtient en divisant 4 par 10: 0.4 = 4/10 = 2/5 (2). En conséquence, écrire 0.4, 4/10 ou 2/5 revient exactement au même. Ou encore, 0.04 = 4/100 = 2/50. Ou encore, 0.45 = 45/100 = 9/20. Un dernier exemple: 8.256 = 8256/1000 = 1032/125.

Mais comment faire quand notre nombre décimal possède un ou plusieurs nombres après la virgule qui se répètent à l'infini, à l'identique? Par exemple, comment trouve-t-on les deux entiers qui donnent 5.444... = 5.4 lorsqu'on les divise entre eux?

Pour cela, il faut faire preuve d'astuce. Prenons par exemple le nombre 5.4. Notons n = 5.4. On a donc 10×n= 54.4. Et c'est là que vient le "truc": en faisant 10×n – n, soit 54.4. – 5.4, on obtient 9×n, soit 49, à savoir un nombre entier! Pour trouver la fraction recherchée, on divise simplement 9×n par 9, car 9n/9 = n. On a donc n = 49/9. Et comme cette fraction est irréductible (elle ne peut pas être simplifiée), 49/9 est le résultat recherché. Donc 5.4 = 49/9!

Et avec un nombre ayant deux décimales qui se répètent à l'infini, comme 2.15? Le principe est le même que précédemment; seulement, puisqu'on a deux décimales qui se répètent et non plus une seule, on va devoir jouer avec n et 100×n. On a donc n = 2.15 et 100×n = 215.15. Par conséquent, 100×n – n = 99×n = 213, et finalement n = 99n/99 = 213/99 = 2.15!

Prenons un dernier exemple avec un nombre comportant trois décimales se répétant à l'infini, comme –0.126. Avec quoi va-t-on jouer cette fois-ci? Oui, vous l'avez bien sûr trouvé: avec n et 1000×n! On a donc n = –0.126 et 1000×n = –126.126. Et par conséquent, 1000×n – n = 999×n = –126, donc finalement n = –999n/999 = –126/999 = –14/111 = –0.126!

Maintenant, vous allez vous dire: mais à quoi peut-il bien servir de transformer un nombre décimal en une fraction? Eh bien admettons que vous ayez à multiplier 2.3 par 9. Il y a fort à parier que vous preniez votre calculatrice... Mais si vous voyez que 2.3 = 7/3(3), vous obtenez très facilement 2.3×9 = (7/3)×9 = 7×3 = 21! Beaucoup plus simple, non?


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