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www.helpmaths.net ←Les mathématiques sont omiprésentes dans la musique. Prenons les rythmes tout d'abord: un morceau de musique se bat généralement
à trois temps (3/4) ou à quatre temps (4/4), plus rarement à 6/8 ou 8/12; chaque succession de temps correspond à une "phrase" musicale.
Mais la musique, ce ne sont pas que des rythmes: c'est aussi – et surtout – une succession de notes.
Une note se caractérise par sa fréquence. La fréquence, c'est le nombre de vibrations par seconde d'un support matériel dans lequel se cré une onde; pour les instruments de musique, c'est la vibration de l'air pour un instrument à vent (flûte, trompette, clarinette, ...), ou la vibration d'une corde pour un instrument à cordes (guitare, piano, violon...). La note fondamentale de référence est la3: sa fréquence est de 440 vibrations par seconde, ou 440 [Hz](1) .
Les notes se répartissent selon un certain ordre dans la gamme: par exemple do, ré, mi... huit notes du "do" jusqu'au "do" suivant. L'intervalle entre un "do" et le "do suivant – mais ça peut être entre "ré" et le "ré" suivant, "mi" et le "mi" suivant, ... – s'appelle une octave. Dans l'octave allant d'un "do" au "do" suivant, on note ces demi-tons: do, do dièse, ré, ré dièse, mi... jusqu'au "do" suivant. Il y a donc douze demi-tons entre un "do" et le "do" suivant (ou, donc, du "la" au "la" suivant, par exemple). Pour passer d'une note au demi-ton suivant, lorsqu'on joue de la guitare par exemple, on doit faire vibrer la corde un certain nombre de fois plus vite que la note initiale. Par exemple, pour passer de "do" naturel à "do" dièse, il faut que la fréquence du "do" dièse soit r fois celle du "do" naturel. Pour passer de "do" dièse à "ré" naturel, il faut que la fréquence du "ré" naturel soit r fois celle du "do" dièse, donc r*r = r2 fois celle du "do" naturel. Entre "do" et "sol", il y a sept demi-tons; la fréquence du "sol" doit donc être r7 fois celle du "do". Et donc, pour passer du "do" au "do" suivant (par exemple du "do"3 au "do"4), il faut que la corde vibre r12 fois plus vite que lorsqu'elle joue le "do" initial.
Mais comment trouve-t-on la valeur de r? Il faut savoir que la corde qui joue le "la" une octave au-dessus du "la" fondamental vibre deux fois plus vite que lorsqu'elle joue le "la" fondamental. Le "la" fondamental, "la"3, vibre donc à 440 [Hz]; le "la" de l'octave au-dessus, "la"4, vibre à 880 [Hz]. Donc pour passer d'une fréquence ν(2) à son double, je dois faire vibrer ma corde r×r×r... (répété douze fois) fois plus vite, donc r12 fois plus vite. Par conséquent, si 2×ν = r12*ν, alors 2 = r12, et r = racine douzième de 2 = 21/12 ≈ 1,059. Et donc, pour passer d'une note au demi-ton suivant, il faut que la fréquence soit environ 1.059 = 21/12 fois celle de la note considérée. Par exemple, si "la" 3 vibre à 440 [Hz], "la"3♯ vibre à 440×21/12 (3) [Hz], soit environ 466 [Hz]. Et puisque "mi"3 se situe sept demi-tons au-dessus de "la"3, "mi"3 vibre à 440×27/12 [Hz], soit environ 659 [Hz].
Nous allons maintenant établir les fréquences de l'ensemble des demi-tons de la gamme de "la"3 jusqu'à "la"4. Pour chaque note, il s'agira donc de multiplier 440 par (21/12)n, où n = 0 pour "la"3, n = 1 pour "la"3 dièse, n = 2 pour "si"3... Le résultat des calculs figure dans le tableau 1.
| note | n | calcul fréquence | fréquence exacte [Hz] | fréquence approchée [Hz] |
| la3 | 0 | 440*1 | 440 | 440 |
| la♯ | 1 | 440*21/12 | 466.164 | 466 |
| si | 2 | 440*21/6 | 493.883 | 494 |
| do | 3 | 440*21/4 | 523.251 | 523 |
| do3♯ | 4 | 440*21/3 | 554.365 | 554 |
| ré | 5 | 440*25/12 | 587.330 | 587 |
| ré3♯ | 6 | 440*21/2 | 622.254 | 622 |
| mi | 7 | 440*27/12 | 659.255 | 659 |
| fa | 8 | 440*22/3 | 698.456 | 698 |
| fa3♯ | 9 | 440*23/4 | 739.989 | 740 |
| sol | 10 | 440*25/6 | 783.991 | 784 |
| sol3♯ | 11 | 440*211/12 | 830.609 | 831 |
| la4 | 1 | 440*2 | 880 | 880 |
Tableau 1. Calcul de la fréquence des notes de la gamme de la3.
Le fait d'arrondir les fréquences à un nombre entier ne change rien à la note entendue; pour commencer à entendre un changement de fréquence, il faut augmenter ou diminuer la fréquence d'au moins 5 [Hz].
Si vous voulez vérifier (à l'oreille!) que les fréquences indiquées dans le tableau 1 sont justes, rendez-vous ici.
Lorsqu'on fait vibrer la deuxième corde d'une guitare (la corde A), on obtient la note "la"3. Lorsque le musicien place son doigt
sur la touche, il diminue la longueur de la corde, ce qui augmente la fréquence de la note.
Nous allons nous intéresser à quatre intervalles musicaux: la tierce, la quarte, la quinte et l'octave. La note de
référence sera... le la3.
Pour trouver la longueur de la corde correspondant à la note recherchée, le calcul est simple: il suffit de diviser 440 par la fréquence de la note désirée. Par exemple, pour obtenir une quinte ("la" – "mi"), on calculera 440/554, ce qui donne environ 0,666... = 2/3. Pour obtenir un "mi" sur la corde A, on placera donc le doigt aux 2/3 de la hauteur de la corde.
Voyons donc le calcul des longueurs pour les quatre intervalles qui nous intéressent:
• tierce (la – do♯): 440/554 ≈ 0.8 = 4/5
• quarte (la – ré): 440/587 ≈ 0.75 = 3/4
• quinte (la – mi): 440/659 ≈ 0.666... = 2/3
• octave (la3 – la4): 440/880 = 0.5 = 1/2
Ces rapports sont toujours valables, que ce soit pour une corde de piano ou la colonne d'air dans un instrument à vent.
Finalement, si vous vous amusez à diviser la fréquence du "la" fondamental (440 [Hz], donc...) par ces rapports (ou si vous la multipliez par leur inverse, ce qui revient au même), vous retrouverez – plus ou moins – la fréquence de la note correspondante. Essayez, vous verrez...